커서의 위치를 수정하기 위해 아래 코드가 도움이 되실지 모르겠습니다.

textField.focusedProperty().addListener(new ChangeListener<Boolean>() {
    @Override
    public void changed(ObservableValue<? extends Boolean> observable, Boolean oldValue, Boolean newValue) {
        if (newValue) {
            Platform.runLater(()->{
              textField.deselect();
              textField.positionCaret(textField.getLength());
            });                   
        }
    }
});

그리고 JavaFX에서 직접 IME를 콘트롤하는 방법은 없을 것 같습니다.

다만 윈도우즈 API를 호출하여 IME를 콘트롤 하는 방식은 가능할지도 모르겠습니다.

아마도 아래 링크와 코드가 참고가 되실 지 모르겠네요.

http://blog.7thwheel.com/entry/2017/03/25/173238